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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
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Práctica 7 - Aproximación polinomial

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1. Calcular el polinomio de Taylor de orden nn de ff centrado en x0x_{0}:
a) f(x)=2+3x+4x2,n=2,x0=0f(x)=2+3 x+4 x^{2}, n=2, x_{0}=0

Respuesta

Aclaración: Antes de arrancar esta guía es clave que hayas visto, como mínimo, la primera clase de Polinomio de Taylor! ⚠️

Nos piden encontrar el polinomio de Taylor de orden 22 centrado en x=0x=0 de la función f(x)=2+3x+4x2f(x)=2+3 x+4 x^{2}

Sabemos que el polinomio de Taylor que estamos buscando tiene esta estructura:
  p(x)=f(0)+f′(0)(x−0)+f′′(0)2!(x−0)2 p(x) = f(0) + f'(0)(x - 0) + \frac{f''(0)}{2!}(x - 0)^2

p(x)=f(0)+f′(0)⋅x+f′′(0)2x2 p(x) = f(0) + f'(0) \cdot x + \frac{f''(0)}{2}x^2
 
Para poder completar nuestra respuesta, tenemos que encontrar entonces quiénes son f(0)f(0),f′(0)f'(0) y f′′(0)f''(0). Vamos con eso: 
f(x)=2+3x+4x2 f(x) = 2 + 3x + 4x^{2} f(0)=2 f(0) = 2 f′(x)=3+8x f'(x) = 3 + 8x f′(0)=3 f'(0) = 3 f′′(x)=8 f''(x) = 8 f′′(0)=8 f''(0) = 8 Reemplazamos ahora los valores que obtuvimos en la estructura de nuestro polinomio de Taylor: p(x)=2+3x+82(x2) p(x) = 2 + 3x + \frac{8}{2}(x^{2})
p(x)=2+3x+4x2 p(x) = 2 + 3x + 4x^{2}

Obtuvimos la misma función f(x)f(x) original 😱 ¿Por qué fue eso? Fijate que nuestra función ff es un polinomio de grado 22... y nosotrxs estábamos buscando un polinomio, también de grado 22 que cerca del cero aproxime bien a nuestra función. Bueno, como nuestra función ya era un polinomio, y si, la que mejor aproxima es la función misma :)
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